Operasi pada Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Postingan ini membahas mengenai operasi pada akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 dimana \displaystyle a,b,c\in\mathbb{R} dan \displaystyle a\ne 0. Operasi pada akar-akar persamaan kuadrat yang dimaksud pada postingan ini adalah operasi penjumlahan dan perkalian, serta kombinasinya. Sebagai ilustrasi, jika misalkan \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan \displaystyle ax^{2}+bx+c=0, maka yang dimaksud dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah \displaystyle x_{1}+x_{2} dan \displaystyle x_{1}x_{2}. Nah, pada postingan ini lebih menekankan pada cara menentukan hasil operasi tersebut tanpa menentukan nilai dari masing-masing akar tersebut.

Seperti yang telah dibahas pada postingan yang berjudul Dari Mana Rumus Kuadrat (ABC) Berasal?, bahwa apabila diberikan suatu persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0, maka akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut memenuhi \displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Dengan demikian, apabila dipilih \displaystyle x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dan \displaystyle x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, maka diperoleh:

  • Operasi penjumlahan (hasil jumlah)

\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+ \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{-2b}{2a}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}

  • Operasi perkalian (hasil kali)

\displaystyle x_{1}x_{2}=\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{\left(-b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}{4a^{2}}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{4ac}{4a^{2}}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}


Key Point

Misalkan \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 dimana \displaystyle a,b,c\in\mathbb{R} dan \displaystyle a\ne 0. Hasil jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut berturut-turut dinyatakan sebagai \displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} dan \displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.


Dengan memanfaatkan hasil jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat di atas dan manipulasi bentuk aljabar, nantinya dapat diperoleh hasil operasi kombinasi antara operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Beberapa operasi kombinasi pada akar-akar persamaan kuadrat dijelaskan di bawah ini.

  • Selisih: \displaystyle x_{1}-x_{2}
\displaystyle x_{1}-x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}- \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\left(\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)-\left(\frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)

\displaystyle\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\displaystyle\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\frac{2\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\displaystyle\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}.

  • Selisih kuadrat: \displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}

\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)
\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left(\frac{-b}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\right)
\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\frac{-b\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{2}}

  • Jumlah kuadrat: \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}

Dari \displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}=x_{1}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}, diperoleh hasil bahwa \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}. Dengan demikian, \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}-2\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a}=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}

  • Jumlah pangkat tiga: \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}

Untuk menentukan hasil dari \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}, terlebih dahulu disajikan hasil dari \displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3} sebagai berikut.
\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}=x_{1}^{3}+3x_{1}^{2}x_{2}+3x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}^{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right). Dari penjabaran \displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3} tersebut, kita dapat menurunkan rumus untuk \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}, yaitu
\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(-\frac{b}{a}\right)^{3}-3\left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right)
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\frac{-b^{3}}{a^{3}}+\frac{3bc}{a^{2}}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\frac{-b^{3}+3abc}{a^{3}}=\frac{3abc-b^{3}}{a^{3}}.

  • Selisih pangkat tiga: \displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}

Sama halnya dengan menurunkan rumus jumlah pangkat tiga, untuk menurunkan rumus selisih pangkat tiga, terlebih dahulu dijabarkan hasil dari \displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{3} sebagai berikut.
\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}=x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}x_{2}+3x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right). Dari penjabaran ini, dapat diturunkan rumus \displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}, yaitu
\displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}+3x_{1}x_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\left(\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\right)^{3}+3\left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\right)
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-4ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}+\frac{3c\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{2}}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-4ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}+3ac\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-4ac+3ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}

  • Jumlah pangkat empat: \displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}

Dari \displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}=x_{1}^{4}+2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}, dapat diturunkan rumus \displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}, yaitu \displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}\right)^{2}

  • Selisih pangkat empat: \displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}

\displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)
\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\right)\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\right).


Key Point

Misalkan \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 dimana \displaystyle a,b,c\in\mathbb{R} dan \displaystyle a\ne 0. Beberapa operasi (kombinasi) pada akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah sebagai berikut.

  • Selisih: \displaystyle x_{1}-x_{2}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}
  • Selisih kuadrat: \displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)
  • Jumlah kuadrat: \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}
  • Jumlah pangkat tiga: \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)
  • Selisih pangkat tiga: \displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}+3x_{1}x_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)
  • Jumlah pangkat empat: \displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}\right)^{2}
  • Selisih pangkat empat: \displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)

Agar lebih memahami operasi pada akar-akar persamaan kuadrat, berikut disajikan soal dan pembahasan terkait dengan operasi pada akar persamaan kuadrat.

Soal [UN 2014]

Jika \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \displaystyle x^{2}-5x+k+3=0 dan \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=13. Nilai \displaystyle k yang memenuhi adalah….
A. \displaystyle 0
B. \displaystyle 3
C. \displaystyle 6
D. \displaystyle 9
E. \displaystyle 18

Pembahasan

Karena \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle x^{2}-5x+k+3=0, berarti \displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{-5}{1}=5 dan \displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{k+3}{1}=k+3. Dengan demikian,
\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=13
\displaystyle \Leftrightarrow \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}=13
\displaystyle \Leftrightarrow 5^{2}-2(k+3)=13
\displaystyle \Leftrightarrow 25-2k-6=13
\displaystyle \Leftrightarrow -2k=-6
\displaystyle \Leftrightarrow k=3.
Jawaban: B

Soal [UM UGM 2006 IPA Kode 372]

Jumlah kuadrat akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}-3x+n=0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}+x-n=0. Maka nilai \displaystyle n adalah….
A. \displaystyle -10
B. \displaystyle -6
C. \displaystyle 8
D. \displaystyle 10
E. \displaystyle 12

Pembahasan

Misalkan \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persaman \displaystyle x^{2}-3x+n=0. Akibatnya, \displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3 dan \displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{n}{1}=n. Lagi, misalkan \displaystyle \alpha dan \displaystyle \beta adalah akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}+x-n=0. Akibatnya, \displaystyle \alpha+\beta=-\frac{1}{1}=-1 dan \displaystyle \alpha\beta=\frac{-n}{1}=-n. Selanjutnya, dari informasi pada soal, diperoleh bahwa \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\alpha^{3}+\beta^{3}
\displaystyle \Leftrightarrow \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}=\left(\alpha+\beta\right)^{3}-3\alpha\beta\left(\alpha+\beta\right)
\displaystyle \Leftrightarrow 3^{2}-2n=\left(-1\right)^{3}-3\left(-n\right)\left(-1\right)
\displaystyle \Leftrightarrow 9-2n=-1-3n
\displaystyle \Leftrightarrow n=-10.
Jawaban: A

Latihan Soal

  1. [UN 2014] Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle x^{2}+(p-3)x+4=0 adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}. Jika \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=p-5, maka nilai \displaystyle p yang memenuhi adalah….
  2. Akar-akar dari persamaan \displaystyle x^{2}+5x-6=0 adalah \displaystyle \alpha dan \displaystyle \beta. Tentukanlah nilai dari \displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}.
  3. [UN B47 2012] Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle x^{2}+ax-4=0 adalah \displaystyle p dan \displaystyle q. Jika \displaystyle p^{2}-2pq+q^{2}=8a, maka nilai \displaystyle a=….
  4. [UAN 2003] Jika akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle 3x^{2}+5x+1=0 adalah \displaystyle \alpha dan \displaystyle \beta, maka nilai \displaystyle \frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}} sama dengan….
  5. [SPMB-MA-03-15] Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle x^{2}+6x+c=0 adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}. Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle x^{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)x+4=0 adalah \displaystyle u dan \displaystyle v. Jika \displaystyle u+v=-uv, maka \displaystyle x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}=….

NB: Apabila ada hal-hal yang belum dipahami terkait dengan penjelasan di atas ataupun kritik dan saran yang membangun, maka jangan enggan untuk menuliskan pertanyaan atau kritik dan saran dari teman-teman di kolom komentar.

Sekian.

Stay hungry and stay foolish.

Referensi

[1] https://www.math-only-math.com/symmetric-functions-of-roots-of-a-quadratic-equation.html

 

Advertisements

2 thoughts on “Operasi pada Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s