Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Salah satu butir soal matematika yang sering muncul dalam Ujian Nasional (UN) jenjang SMA adalah soal mengenai persamaan kuadrat baru.

Misalkan diberikan persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 yang akar-akarnya adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} yang kemudian kita diminta menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \displaystyle px_{1}-q dan \displaystyle px_{2}-q dengan \displaystyle p\in\mathbb{R}-\left \{0 \right \} dan \displaystyle q\in\mathbb{R}. Adapun untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa alternatif penyelesaian sebagai berikut.

Alternatif 1

Misalkan \displaystyle k=px-q. Kemudian nyatakan dalam \displaystyle x dalam \displaystyle k , yaitu \displaystyle x=\frac{k+q}{p}.

Substitusikan \displaystyle x=\frac{k+q}{p} ke persamaan kuadrat awal, sehingga diperoleh

\displaystyle a\left(\frac{k+q}{p}\right)^{2}+b\left(\frac{k+q}{p}\right)+c=0 \displaystyle \Leftrightarrow a\left(\frac{k^{2}+2qk+q^{2}}{p^{2}}\right)+b\left(\frac{k+q}{p}\right)+c=0 \displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{p^{2}}k^{2}+\frac{2aq}{p^{2}}k+\frac{aq^{2}}{p^{2}}+\frac{b}{p}k+\frac{bq}{p}+c=0

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{p^{2}}k^{2}+\frac{2aq}{p^{2}}k+\frac{b}{p}k+\frac{aq^{2}}{p^{2}}+\frac{bq}{p}+c=0 …(kalikan kedua ruas dengan \displaystyle p^{2})

\displaystyle \Leftrightarrow ak^{2}+2aqk+bpk+aq^{2}+bpq+cp^{2}=0 \displaystyle \Leftrightarrow ak^{2}+\left(2aq+bp\right)k+aq^{2}+bpq+cp^{2}=0

Dari hasil ini, ubah setiap variabel \displaystyle k dengan variabel \displaystyle x, sehingga diperoleh bahwa persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah

\displaystyle ax^{2}+\left(2aq+bp\right)x+aq^{2}+bpq+cp^{2}=0

Soal [UN SMA Program IPA tahun 2017]

Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle 3x^{2}-x-4=0 adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \left(3x_{1}-1\right) dan \displaystyle \left(3x_{2}-1\right) adalah…

A. \displaystyle x^{2}-x-38=0

B. \displaystyle x^{2}+x-32=0

C. \displaystyle x^{2}+x+12=0

D. \displaystyle x^{2}+x-12=0

E. \displaystyle x^{2}-x-12=0

Pembahasan

Misalkan \displaystyle k=3x-1. Jika \displaystyle x dinyatakan dalam \displaystyle y , maka diperoleh \displaystyle x=\frac{k+1}{3}. Kemudian, hasil ini disubstitusikan pada persamaan kuadrat \displaystyle 3x^{2}-x-4=0 sedemikian sehingga diperoleh

\displaystyle 3\left(\frac{k+1}{3}\right)^{2}-\left(\frac{k+1}{3}\right)-4=0 \displaystyle \Leftrightarrow 3\left(\frac{k^{2}+2k+1}{9}\right)-\left(\frac{k+1}{3}\right)-4=0

\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{k^{2}+2k+1}{3}\right)-\left(\frac{k+1}{3}\right)-4=0…(kalikan kedua ruas dengan \displaystyle 3)

\displaystyle \Leftrightarrow \left(k^{2}+2k+1\right)-\left(k+1\right)-12=0 \displaystyle \Leftrightarrow k^{2}+k-12=0

Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah \displaystyle x^{2}+x-12=0.

Jawaban: D

Alternatif 2

Tentukan terlebih dahulu nilai \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} dengan cara memfaktorkan persamaan kuadrat awal yang diberikan. Setelah itu, tentukan nilai dari \displaystyle px_{1}-q dan \displaystyle px_{2}-q. Adapun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \displaystyle px_{1}-q dan \displaystyle px_{2}-q adalah \displaystyle \left(x-\left(px_{1}-q\right)\right)\left(x-\left(px_{2}-q\right)\right)=0.

Soal [UN SMA Program IPA tahun 2017]

Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle 3x^{2}-x-4=0 adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \left(3x_{1}-1\right) dan \displaystyle \left(3x_{2}-1\right) adalah…

A. \displaystyle x^{2}-x-38=0

B. \displaystyle x^{2}+x-32=0

C. \displaystyle x^{2}+x+12=0

D. \displaystyle x^{2}+x-12=0

E. \displaystyle x^{2}-x-12=0

Pembahasan

\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\Leftrightarrow \left(3x-4\right)\left(x+1\right)=0. Karena \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar dari \displaystyle 3x^{2}-x-4=0, berarti \displaystyle x_{1}=\frac{4}{3} dan \displaystyle x_{2}=-1. Akibatnya, \displaystyle 3x_{1}-1=3\left(\frac{4}{3}\right)-1=3 dan \displaystyle 3x_{2}-1=3\left(-1\right)-1=-4. Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah

\displaystyle \left(x-3\right)\left(x+4\right)=0 \displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+4x-3x-12=0 \displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+x-12=0

Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah \displaystyle x^{2}+x-12=0.

Jawaban: D

Alternatif 3

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \displaystyle \alpha dan \displaystyle \beta dinyatakan sebagai

\displaystyle x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0.

Catatan Apabila akar-akar dari persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}, maka berlaku \displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} dan \displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} .

Soal [UN SMA Program IPA tahun 2017]

Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle 3x^{2}-x-4=0 adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \left(3x_{1}-1\right) dan \displaystyle \left(3x_{2}-1\right) adalah…

A. \displaystyle x^{2}-x-38=0

B. \displaystyle x^{2}+x-32=0

C. \displaystyle x^{2}+x+12=0

D. \displaystyle x^{2}+x-12=0

E. \displaystyle x^{2}-x-12=0

Pembahasan

Karena \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle 3x^{2}-x-4=0, berlaku \displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-(-1)}{3}=\frac{1}{3} dan \displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{-4}{3} . Misalkan \displaystyle \alpha=3x_{1}-1 dan \displaystyle \beta=3x_{2}-1.

  • \displaystyle \alpha+\beta=3x_{1}-1+3x_2-1=3\left(x_{1}+x_{2}\right)-2=3\left(\frac{1}{3}\right)-2=-1
  • \displaystyle \alpha\beta=\left(3x_{1}-1\right)\left(3x_{2}-1\right)=9x_1x_2-3\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=-12

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah

\displaystyle x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0 \displaystyle \Leftrightarrow x^{2}-\left(-1\right)x+\left(-12\right)=0

\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+x-12=0.

Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah \displaystyle x^{2}+x-12=0.

Jawaban: D

Baca juga: Menentukan Persamaan Kuadrat Baru (Bagian 2)

Latihan Soal

  1. [UN AP12 dan BP 45 2011] Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle 3x^{2}-12x+2=0 adalah \displaystyle \alpha dan \displaystyle \beta. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \left(\alpha+2\right) dan \displaystyle \left(\beta+2\right) adalah….
  2. [UN IPS 2018] Akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle x^{2}-3x+5=0 adalah \displaystyle \alpha dan \displaystyle \beta. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \left(\alpha+2\right) dan \displaystyle \left(\beta+2\right) adalah….
  3. [UN IPS 2018] Jika \displaystyle p dan \displaystyle q adalah akar-akar persamaan \displaystyle -x^{2}+7x-6=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \left(p-2\right) dan \displaystyle \left(q-2\right) adalah….
  4. [UN AP12 dan BP45 2010] Jika \displaystyle p dan \displaystyle q adalah akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}-5x-1=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle 2p+1 dan \displaystyle 2q+1 adalah….
  5. [UN AP12 2007] Jika \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}-5x+6=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle x_{1}-3 dan \displaystyle x_{2}-3 adalah….
  6. [UN BP45 2007] Jika \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}-x+2=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle 2x_{1}-2 dan \displaystyle 2x_{2}-2 adalah….
  7. [UN AP12 dan BP45 2010] Jika \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}-4x+3=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle 2x_{1}+5 dan \displaystyle 2x_{2}+5 adalah….

NB: Apabila ada hal-hal yang belum dipahami terkait dengan penjelasan di atas ataupun kritik dan saran yang membangun, maka jangan enggan untuk menuliskan pertanyaan atau kritik dan saran dari teman-teman di kolom komentar.

Sekian.

Stay hungry and stay foolish.

Advertisements

1 thought on “Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

  1. Pingback: Menentukan Persamaan Kuadrat Baru (Bagian 2) | Cerita dan Pengetahuan

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s