Menentukan Persamaan Kuadrat Baru (Bagian 2)

Pada postingan Menentukan Persamaan Kuadrat Baru telah dibahas cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \displaystyle px_{1}-q dan \displaystyle px_{2}-q dengan \displaystyle p\in\mathbb{R}-\left\{0\right\} dan \displaystyle q\in\mathbb{R} dimana \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0. Adapun postingan kali ini membahas mengenai cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mengandung operasi antara \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}; misal \displaystyle x_{1}+x_{2} dan \displaystyle x_{1}x_{2}, \displaystyle 2+\frac{x_{2}}{x_{1}} dan \displaystyle 2+\frac{x_{1}}{x_{2}}, \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2} dan \displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}, \displaystyle x_{1}+x_{2} dan \displaystyle x_{1}-x_{2}, dsb.

Misalkan \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 [1]. Ini berarti \displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0\Leftrightarrow x^2-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0 [2]. Apabila kedua ruas [2] dikalikan dengan \displaystyle a, diperoleh \displaystyle ax^2-a\left(x_{1}+x_{2}\right)x+ax_{1}x_{2}=0 [3]. Berdasarkan kesamaan bentuk antara [1] dan [3], diperoleh:

  • \displaystyle b=-a\left(x_{1}+x_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}
  • \displaystyle c=ax_{1}x_{2}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}

Dengan demikian, jika \displaystyle \alpha dan \displaystyle \beta adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah \displaystyle x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0.


Key Point

Metode dasar untuk menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lama adalah sebagai berikut. (1) Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat lama; (2) Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru dengan memanfaatkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang lama; dan (3) Membentuk persamaan kuadrat baru dengan bentuk umumnya adalah \displaystyle x^2-(jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru)\displaystyle x+(hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru)\displaystyle =0.


Baca juga: Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Soal [EBT-SMA-01-06]

Akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}+6x-12=0 adalah \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2}. Persamaan baru yang akar-akarnya adalah \displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}} dan \displaystyle x_{1}x_{2} adalah…
A. \displaystyle x^{2}+9x-18=0
B. \displaystyle x^{2}-21x-18=0
C. \displaystyle x^{2}+21x+36=0
D. \displaystyle 2x^{2}+21x-36=0
E. \displaystyle 2x^{2}+21x-18=0

Pembahasan

Karena \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar dari persamaan \displaystyle x^{2}+6x-12=0, berarti berlaku \displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-6}{1}=-6 dan \displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{-12}{1}=-12. Akibatnya, diperoleh hasil bahwa:

  • Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru

\displaystyle \left(\frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}\right)+x_{1}x_{2}=\frac{3\left({x_{1}}+{x_{2}}\right)}{x_{1}x_{2}}+x_{1}x_{2}=\frac{3\left(-6\right)}{-12}+\left(-12\right)=\frac{-21}{2}

  • Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru

\displaystyle \left(\frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}\right)x_{1}x_{2}=\left[\frac{3\left({x_{1}}+{x_{2}}\right)}{x_{1}x_{2}}\right]x_{1}x_{2}=\frac{3\left(-6\right)}{-12}\left(-12\right)=-18

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}} dan \displaystyle x_{1}x_{2} adalah \displaystyle x^{2}-\left(\frac{-21}{2}\right)x+(-18)=0\Leftrightarrow 2x^{2}+21x-36=0.
Jawaban: D

Latihan Soal

  1. [EBTANAS 2001] Jika \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan \displaystyle 2x^{2}+6x-5=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}} dan \displaystyle x_{1}x_{2} adalah….
  2. [SBMPTN MADAS 2014] Jika \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan \displaystyle x^{2}+3x+1=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle 2+\frac{x_{2}}{x_{1}} dan \displaystyle 2+\frac{x_{1}}{x_{2}} adalah….
  3. Jika \displaystyle x_{1} dan \displaystyle x_{2} adalah akar-akar persamaan \displaystyle 3x^{2}-9x+1=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \displaystyle \frac{1}{x_{1}x_{2}^{2}} dan \displaystyle \frac{1}{x_{1}^{2}x_{2}} adalah….

NB: Apabila ada hal-hal yang belum dipahami terkait dengan penjelasan di atas ataupun kritik dan saran yang membangun, maka jangan enggan untuk menuliskan pertanyaan atau kritik dan saran dari teman-teman di kolom komentar.

Sekian.

Stay hungry and stay foolish.

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s