Kongruensi Modulo

Definisi Misalkan  dan . Kita mengatakan bahwa kongruen dengan modulo ,  dinotasikan dengan , jika dan hanya jika  ( dengan kata lain, jika terdapat  sedemikian sehingga ).
Jika tidak kongruen dengan modulo , maka dinotasikan dengan .
Contoh  dan .
Teorema Untuk dan , yang berikut ini berlaku.
i)  .
Bukti
: Karena , berdasarkan definisi diperoleh bahwa .
ii)  Jika , maka .
Bukti: Berdasarkan definisi berarti ada suatu sedemikian sehingga atau . Dari , dimisalkan bahwa , sehingga diperoleh . Dari definisi berarti .
iii) Jika dan , maka .
Bukti: Karena  dan ,  maka dan untuk suatu . Oleh karena itu diperoleh , dengan .
Jadi, .
Teorema Untuk dan yang berikut ini berlaku.
i)   Jika dan , maka .
Bukti: Karena dan , diperoleh dan untuk suatu . Dari hasil ini, kita peroleh . Jadi, .
ii)  Jika dan , maka .
Bukti: Karena dan , diperoleh dan untuk suatu . Dari hasil ini, kita peroleh dengan . Jadi,
iii) Jika , maka untuk setiap .
Bukti: Karena , diperoleh . Karena , diperoleh dan . Lebih jauh lagi, dan untuk . Sehingga, . Karena , . Jadi, untuk setiap
iv) Jika dan , maka .
Bukti: Karena ,diperoleh . Karena , haruslah . Jadi, .

***

Sekian dan terima kasih . Semoga bermanfaat. Stay hungry, stay foolish :).
Catatan singkat ini masih banyak kekurangannya. Oleh karena itu, kritik dan saran dari pembaca sangat kami harapkan.

Advertisements

Tutorial Membuat Soal Online Menggunakan Edmodo

Semangat pagi.

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas mengenai

Langkah- langkahnya sebagai berikut.

  1. Membuka laman http://www.edmodo.com.

Tampilan awal Edmodo adalah seperti berikut.

  1. Memilih Teachers.
  2. Membuat account di edmodo dengan cara memasukkan alamat e- mail yang pernah dibuat dan membuat password baru® Sign Up for Free.

Jika pernah membuat account maka mengisikan alamat e- mail®memasukkan password®Log in.

  1. Setelah memilih Sign Up for Free maka akan muncul tampilan seperti berikut ini.

 

Pada tampilan tersebut terlihat bahwa terdapat tiga proses yang harus dilewati, yaitu

  1. Find Your School, memasukkan nama sekolahan dimana kita mengajar. Setelah memasukkan nama sekolah kemudian memilih Next Step.
  2. Update Your Teacher Profil, meng- update profil kita sebagai guru.
  3. Set Up Your Classroom, mengatur kelas kita.
  4. Setetelah ketiga tahap tersebut selesai, maka akan muncul tampilan seperti berikut ini.
  5. Langkah selanjutnya adalah membuat group/ kelompok kelas.

Langkah- langkahnya sebagai berikut.

  1. Meng- klik ikon + pada kotak Groups
  2. Memilih Create
  3. Setelah memilih Create maka ada dua tahap yang harus dilalui yaitu Bring your classroom onto Edmodo! dan You’re almost there!. Pada tahap Bring your classroom onto Edmodo!, mengisikan nama group yangakan dibuat, memilih kelas, dan subject area® Pada tahap kedua, You’re almost there!, mengisikan kapasitas group yang akan dibuat dan memberikan deskripsi tentang grup yang akan dibuat® Finish.

 

 

  1. Setelah proses pembuatan group selesai, maka akan didapatkan kode group dan kode URL. Sehingga dengan kode tersebut para siswa dapat bergabung dalam group yang telah kita buat.

 

Untuk mengundang seseorang untuk bergabung dengan group kita maka berikut adalah caranya.

  1. Meng- klik Join URL
  2. Meng- klik Invite, maka akan muncul tampilan seperti berikut.
  3. Mengisi setiap isian sesuai keinginan dan memasukkan nama sebuah group atau siswa atau guru atau juga biasa dengan menggunakan alamat e- mail®
  1. Kemudian setelah membuat group, langkah selanjutnya adalah membuat quiz.

Berikut adalah langkah- langkah pembuatan quiz-nya.

  1. Memilih Quiz

 

  1. Setelah memilih Quiz maka akan muncul tampilan seperti berikut.

 

Keterangan:

  • Untitled quiz : judul/ nama quiz yang akan dibuat
  • Time Limit : batas waktu pengerjaan quiz (dalam satuan menit)
  • Type : tipe soal yang akan dibuat

Ada lima tipe soal yang diberikan, yaitu

  • Add First Question : menambahkan pertanyaan pertama
  1. Membuat soal tipe pilihan ganda (Multiple Choice)

Langkahnya sebagai berikut.

  1. Memilih tipe soal Multiple Choice.
  2. Memasukkan Points sesuai keinginan.
  3. Mengisi bagian About this Quiz.
  4. Memasukkan soal/ pertanyaan.

Apabila akan memasukkan soal berupa rumus matematika maka format penulisannnya adalah seperti berikut.

[math]…[/math]

Titik- titik(…) diisi dengan rumus matematika yang diinginkan. Penulisan rumus matematika juga berdasarkan aturan yang telah dijelaskan dalam bab tutorial cara menulis rumus secara cepat (selalu diawali dengan tanda ).

Soal selain dapat diketik langsung juga dapat berupa foto/ lampiran.

 

  1. Setelah soal selesai dilanjutkan membuat pilihan jawaban dengan cara memasukkan pilihan dibagaian kotak Responses. Untuk menentukan pilihan jawaban yang benar/ kunci jawaban cukup dengan cara meng- klik kotak jawaban yang sesuai.
  2. Jika ingin menambahkan pilihan jawaban maka cukup dengan meng- klik Add Response.

Untuk lebih jelasnya perhatikan tampilan berikut.

 

 

 

  1. Untuk memastikan bahwa rumus matematika yang dimasukkan sudah sesuai maka memilih Preview pada Assign Quiz

 

Kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini ® Start Quiz

 

Hasilnya akan seperti berikut.

 

  1. Membuat soal tipe Benar Salah (True False).

Langkahnya sebagai berikut.

  1. Memilih ikon + atau Add Question

 

  1. Memilih tipe soal True False

 

  1. Mengisi Points sesuai keinginan, About this Quiz, soal, dan kunci jawaban berupa True atau False.

 

 

  1. Membuat soal tipe jawaban singkat (Short Answer)

Langkahnya sebagai berikut.

  1. Memilih ikon + atau Add Question
  2. Memilih tipe soal Short Answer

 

  1. Memasukkan soal.

 

 

  1. Membuat soal tipe Fill in the blank.

Langkahnya sebagai berikut.

  1. Memilih ikon + atau Add Question.
  2. Memilih tipe soal Fill in the blank.

 

  1. Mengisi soal,Points per Answer, dan Total Points. Untuk memberiken tempat untuk mengisi jawaban, maka dibagian akhir soal diberi tanda _ ®Enter, maka secara otomatis akan terbentuk seperti berikut.

 

  1. Membuat soal tipe men- cocokkan (Matching)

Langkahnya sebagai berikut.

  1. Memilih ikon + atau Add Question.
  2. Memilih tipe soal Matching.

 

  1. Mengisi Points per answer, Total Points, Introduction (pengenalan/ awalan), soal dan jawaban. Untuk menentukan jawaban pasangan yang sesuai maka tempatkan antara soal dan jawaban dalam satu baris. Pada tipe soal ini kita tidak dapat memasukkan rumus matematika secara menual. Untuk menambahkan soal dan jawaban maka memilih Add.

 

 

 

  1. Berikut adalah hasil Preview Quiz secara keseluruhan.
  2. Setelah quiz selesai dibuat maka langkah selanjutnya adalah mengirimkan quiz tersebut kepada siswa untuk dikerjakan.

Berikut adalah cara mengirimkan quiz kepada siswa.

  1. Meng- klik Quiz kemudian mengklik Load From Collection.
  2. Muncul kotak dialog Quiz Collection.
  3. Meng- klik KUIS TRIGONOMETRI2.
  4. Muncul tampilan seperti berikut.
  1. Mengisi due date dengan tanggal pengiriman
  2. Mengisi bagian Send to sesuai dengan keinginan kita kepada siapa kita akan mengirimkan quiz tersebut.
  3. Meng- klik Send.
  1. Setelah quiz terkirim, diterima dan di kerjakan siswa maka kita akan mendapatkan hasil pekerjaan siswa.

Stay hungry and stay foolish :).

Tutorial Cara Membuat Kalkulator Untuk Menentukan Akar (Pembuat Nol) Pada Persamaan Kuadrat dengan Visual Basic

Semangat pagi.

Pada kesempatan ini, saya akan membahas mengenai cara membuat kalkulator untuk menentukan akar- akar/ pembuat nol/ solusi dari suatu persamaan kuadrat dengan Visual Basic.

Langkah- langkah pembuatannya adalah sebagai berikut.

  1. Membuka program Ms.Office Excel (versi 2007).(Start→All Programs→Microsoft Office→Microsoft Office Excel 2007).
  2. Memilih tab ribbon menu Deveoper (jika belum ada maka memilih Office Button→Excel Options→memberi tanda centang pada kotak sebelah kiri tulisan Show Developer tab in the Ribbon).
  3. Memilih menu Insert pada grup Controls. Maka akan muncul tampilan seperti berikut ini.1c
  4. Memilih Button (Form Control).2c
  5. Men-drag pada worksheet lalu melepaskan sehingga button- pun sudah terbuat. Pada saat drag dilepaskan maka button terbentuk dan secara otomatis akan muncul kotak dialog Assign Macro.3c
  6. Pada kotak dialog Assign Macro memilih New. Maka secara otomatis akan muncul kotak dialog Microsoft Visual Basic dan Module1(Code) seperti tampilan berikut ini.4c
  7. Mengetikkan tulisan UserForm1.Show pada bagian bawah tulisan Sub Button1_Click( ) → Enter.5c.png
  8. Kembali ke worksheet Ms.Office Excel awal. Meng-klik kanan pada Button→ Assign Macro. Muncul kotak dialog Assign Macro→ memilih Button1_Click→OK.6c.png7c
  9. Kembali ke kotak dialog Microsoft Visual Basic. Memilih tab ribbon menu Insert → Userform.8c.png
  10. Muncul tampilan seperti dibawah ini.10c
  11. Membuat format isian pada kotak userForm1 dengan menggunakan Label, TextBox, dan CommandButton yang tersedia di kotak dialog Toolbox.9c

Continue reading

Membuat Kalkulator Transformasi Geometri dengan Menggunakan Visual Basic pada Ms. Office Excel

Semangat pagi.

Berikut adalah cara membuat kalkulator transformasi geometri dengan menggunakan Visual Basic pada Ms. Office Excel 2007.

  1. Membuka program Ms.Office Excel (versi 2007).(Start→All Programs→Microsoft Office→Microsoft Office Excel 2007).
  2. Memilih tab ribbon menu Developer (jika belum ada maka memilih Office Button→Excel Options→memberi tanda centang pada kotak sebelah kiri tulisan Show Developer tab in the Ribbon).
  3. Memilih menu Insert pada grup Controls. Maka akan muncul tampilan seperti berikut ini.1b
  4. Memilih Button (Form Control).2b
  5. Men-drag pada worksheet lalu melepaskan sehingga button– pun sudah terbuat. Pada saat drag dilepaskan maka button terbentuk dan secara otomatis akan muncul kotak dialog Assign Macro.3b
  6. Pada kotak dialog Assign Macro memilih New. Maka secara otomatis akan muncul kotak dialog Microsoft Visual Basic dan Module1(Code) seperti tampilan berikut ini.4b
  7. Mengetikkan tulisan UserForm1.Show pada bagian bawah tulisan Sub Button1_Click  ( )Enter.5b

Continue reading

Menggunakan Tab Developer pada Ms. Office Excel Untuk Membuat Pemunculan Mata Dadu

Semangat pagi.
Sebenarnya ada banyak cara yang bisa digunakan untuk membuat pemunculan mata dadu, misalnya menggunakan fungsi random. Namun pada kesempatan kali ini hanya akan dibahas menganai tips atau cara membuat pemunculan mata dadu dengan menggunakana tab Developer pada Microsoft Office Excel.

Berikut adalah langkah- langkah membuat pemunculan mata dadu dengan menggunakan Tab Developer.

  1. Membuka program Microsoft Office Excel.
  2. Mengklik tab ribbon menu Developer.
  3. Memilih sebarang sel, misalnya saja sel A1.
  4. Mengklik Record Macro.2(a)
  5. Akan muncul tampialan seperti berikut.1(a)
  6. Mengetikkan =RANDBETWEEN(1,6) pada sel A1→ Enter, maka akan muncul suatu angka acak antara 1- 6.3a
  7. Mengklik perintah Stop Recording.4a
  8. Mengklik Insert pada tab ribbon Developer → memilih Button(Form Control).5a
  9. Mendrag kursor sampai membentuk persegi atau persegi panjang, lalu melepaskannya. Maka muncul tampilan seperti berikut ini setelah kita melepaskan drag.6a
  10. Mengklik OK. Maka akan terbentuk sebuah Button seperti dibawah ini. 7a
  11. Mengklik kanan Button 1 → memilih Assign Macro….8a
  12. Akan muncul kotak dialog Assign Macro seperti tampilan dibawah ini→ memilih Macro 1OK.9a
  13. Menempatkan kursor ke sel yan diinginkan lalu menekan button, maka pada sel tersebut akan muncul angka antara 1-6 dan kursor akan kembali ke sel awal yaitu sel A1. Terus melakukannya berulang- ulang sampai terbentuk seperti ini.10a
  14. Selesai.

Semoga bermanfaat. Stay hungry, stay foolish.

 

 

Identitas Trigonometri

Semangat pagi.

Pada kesempatan kali ini saya akan membuktikan beberapa identitas trigonometri. Soal yang akan saya buktikan berasal dari Hidegkuti, Powell.2009. Trigonometric Identities 1. Diakses dari http://joemath.com/LMCA/pdf/trigidentities1.pdf pada tanggal 04 Maret 2016 pukul 14:43 waktu setempat. Baiklah, pembuktian akan saya mulai. Semoga bermanfaat.


Bukti:





Bukti:




Continue reading

Persamaan Kuadrat (Quadratic Equations)

Semangat pagi.
Pada kesempatan kali ini saya akan sedikit berbagi pengetahuan tentang salah satu materi dalam matematika yaitu persamaan kuadrat. Dalam bahasan kali ini, saya akan menguraikan beberapa hal seperti berikut.

  1. Definisi persamaan kuadrat.
  2. Solusi persamaan kuadrat.
  3. Teknik menentukan solusi persamaan kuadrat.
  4. Sifat- sifat dalam persamaan kuadrat.

Definisi. Sebelum membahas mengenai definisi persamaan kuadrat, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai definisi fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua, yaitu fungsi polinomial yang didefinisikan sebagai
. Fungsi polinomial dalam berderajat  sendiri didefinisikan sebagai dengan , disebut koefisien, dan disebut konstanta. Dari  definisi fungsi kuadrat ini, selanjutnya kita akan menurunkan definisi persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang didefinisikan sebagai   (bentuk umum atau bentuk standar persamaan kuadrat) dengan syarat bahwa . Perlu diketahui pula bahwa dalam persamaan kuadrat  dan  disebut sebagai koefisien, disebut sebagai konstanta, dan  disebut sebagai anu/ unknown/ variable.
Continue reading